<< baque tou portail

Structures Algébriques:

des relations chaud-bouillant comme du magma.

Quid structure algébrique ?

Imaginons: nous sommes dieu (dieu lambda), et il faut créer "quelque chose" à partir du chaos, afin de faire des choses cohérentes comme des moutons, des arbres, des hommes, les 35 heures, le capitalisme, ou autre chose, tout ça pour finalement ne rien faire le dimanche.

Cette structure, on va la "concevoir" (ou plutôt la découvrir) par exemple en utilisant des ensembles, des éléments, des sous-ensembles, et en étudiant les relations qui les relient.

Si on reprend tout depuis le début, à l'ère du chaos, dans ce grand vrac, il va falloir trouver de la reliance (ft. Edgar Morin) entre des élements quelconque appartenant à un ensemble quelconque, il va falloir lui ranger sa chambre, à cet ensemble quelconque, avec des éléments quelconques, il n'y a aucun ordre, aucun lien, dans ce fourbi. Mais on va tenter de l'étudier, y créer des lois pour que la logique régisse un peu tout ça.

Un ensemble sans foi ni loi.

Cependant…

"La structure d’une chose n’est nullement une chose que nous puissions « inventer ». Nous pouvons seulement la mettre à jour patiemment, humblement en faire connaissance, la « découvrir » . S’il y a inventivité dans ce travail [de mathématicien], et s’il nous arrive de faire œuvre de forgeron ou d’infatigable bâtisseur, ce n’est nullement pour « façonner » ou pour « bâtir » des « structures ». Celles-ci ne nous ont nullement attendues pour être, et pour être exactement ce qu’elles sont! Mais c’est pour exprimer, le plus fidèlement que nous le pouvons, ces choses que nous sommes en train de découvrir et de sonder, et cette structure réticente à se livrer, que nous essayons à tâtons, et par un langage encore balbutiant peut-être, à cerner. Ainsi sommes-nous amenés à constamment « inventer » le langage apte à exprimer de plus en plus finement la structure intime de la chose mathématique, et à « construire » à l’aide de ce langage, au fur et à mesure et de toutes pièces, les « théories » qui sont censées rendre compte de ce qui a été appréhendé et vu. Il y a là un mouvement de va-et-vient continuel, ininterrompu, entre l’appréhension des choses, et l’expression de ce qui est appréhendé, par un langage qui s’affine et ce re-crée au fil du travail, sous la constante pression du besoin immédiat."

p27, Récolte et Semailles, A.Grothendick

Exemple de type de structures que l'on a peut-être déjà entendues.
Les monoïdes (+), groupes ( +, -), anneaux (+, -, .), corps (+, -, . , /). Il y en a d'autres, vers le bas, les structures les plus complexes:

Les magmas

Notre première stucture algébrique sera un magma. Restons simples. Un magma est également un type de structure algébrique (?). Un magma, c'est la donnée d'un ensemble et d'une opération. Les deux peuvent être quelconque. Ci-dessous, un ensemble E quelconque avec des éléments quelconque et une opération quelconque "*".

\( Magma (E, *) \)
\(E = \{•, †, ‹\} \)

On va créer une table de composition: ici on va dicter les lois lorsque deux éléments sont soumis à une opération *. Ici, ces lois sont remplis au hasard, sans logique particulière.

*

Maintenant quand je fais (• * ‹), je sais que ça fait (†).

† * x = ‹. Trouvons x.
x = •.

Nous venons de définir une structure algébrique, en l'occurence un "magma".
Cette opération, *, ne concerne que notre structure algébrique, sa logique quant à son utilisation est donc intrinsèque. On appelle "opération", loi de composition interne (LCI).

Loi = règle de fonctionnement. Composition = prend deux éléments pour les composer ensemble pour générer un autre éléments qui appartient à notre ensemble E. Pour "interne", c'est patent.

Attention,dans la définition d'une loi de composition, il est question d'une application.

ƒ : E $\times$ E → E
ƒ : (x, y) → z

Comme pour les fonctions (lien), ici, z est l'image de (x, y) par l'application ƒ.

Application de N $\times$ N dans N.

Si on a un ensemble A contenant p éléments, et qu'il est en bijection sur lui-même, nous aurons n = p^2 bijections possibles. On va nommer a, b, c… n les n bijections. On pourra même dresser une table.
Si on compose ensemble 2 de ces bijections, (par exemple a $\circ$ b) on pourra trouver parmi les n bijections le résultat de a $\circ$ b, par exemple c. c = a $\circ$ b. En revanche, la réciproque n'est pas forcément vraie: b $\circ$ a n'est pas forcément égale à c, il pourra être égale à f par exemple. Si la réciproque est vérifiée, on appelle cette propriété une propriété dite "commutative"…

Loi de fonctionnement, quelques propriétés: La commutativité, l'associativité, l'élément neutre.

Commutativité.

Une opération est dite commutative si on prend deux éléments qu'on les compose mutuellement dans un sens ou dans l'autre et qu'on obtienne le même résultat. C'est le cas de l'addition et de la multiplication par ailleurs…). Cela s'exprime ainsi:

∀x, y ∈ E, x * y = y * x
Dans une approche plus abstraite:

A ⋂ B = B ⋂ A. Lors d'une poignée de main, il n'y en a pas un des deux qui touche plus la main que l'autre.

Par exemple, la division n'est pas commutative.

2/3 ≠ 3/2

C'est aussi le cas pour l'exponentiation.

Associativité.

Parce qu'on a vu qu'on peut composer seulement deux nombres à la fois, on se demande si on peut calculer n élements en même temps, ou quelque soit le sens dont on résolve l'équation, le résultat est le même.

∀x, y , z ∈ E , (x * y ) * z = x * (y * z)

Cela sous entend que lorsqu'on dépasse la composition de deux éléments, on peut se passer des paranthèses qui explicterait qu'on ne peut "étoiler" que deux nombres à la fois.

L'exponentiation n'est pas associative.

L'élément neutre.

Un élement neutre est un élément qui lorqu'on le compose avec un autre éléments, le résultat de la composition ne change pas, il sera égale à cet autre nombre. 0 pour l'addition (1+0 = 1), 1 pour la multiplication (1 * 100 = 100).

e ∈ E, ∀x, x * e | e * x = x

Dans un magma, "libre à nous" de choisir si notre opération * est assujetie à toutes ces lois.

Il y en a aussi d'autres qu'on aborde juste après, l'élément régulier (symétrique), la distributivité.

Monoïde

Quand on me dit monoïde je réponds aussi sec:

"c'est une strucutre algébrique qui est un magma associatif et unifère…"
(E, *).

$(\mathbb{N}, +)$ et $(\mathbb{R}, * )$ remplissent les conditions pour être un monoïdes. Puisqu'il existe bien à éléments neutre (condition unifère) et associative car quelque soit le sens de la composition, le résultat est le même.

$(\mathbb{Z}-, *)$ par exemple ne remplit pas les conditions pour être un monoïde, puisqu'il n'est pas un magma: la multiplication de deux nombres négatifs donne un nombre positif. On dépasse l'ensemble initial que l'on a donné. C'est pourtant bien une condition à remplir.

∀x ∈ Z-, x * x ∉ Z-

Pour $(2\mathbb{Z}, *)$ (les nombres pairs positifs), c'est valable aussi, puisqu'il n'y a pas d'éléments unifères, en l'occurence 1, qui est impair, donc exclu de cet ensemble.

Les ensembles de fonctions. Opération de composition.

Les ensembles de toutes les fonctions se notre $(\mathbb{R} ^\mathbb{R})$. On peut se munir d'une opération de composition de fonction, $\circ$.
Le symbole $\circ$ se nomme composition des fonctions et se prononce "rond", on compose les opération de g et de f.

$(\mathbb{R} ^\mathbb{R}, \circ)$

Mettons. Une fonction ƒ : x ↦ 2x. Ici, ƒ(3) = 6.
Mettons une autre fonction, g : x ↦ x . x, Ici g(x) = 9.

À partir de ces deux fonctions, on va pouvoir en composer une troisième:

ƒ $\circ$ g

À un nombre x, on applique la fonction g puis la fonction f.

ƒ $\circ$ g = 18

$(\mathbb{R} ^\mathbb{R}, \circ)$ est bien un monoïde car premièrement il est un magma: quelque soit la compositon de deux fonction, on obtiendra bien un réel.

• Démontrer que $(\mathbb{R} ^\mathbb{R}, \circ)$ est associatif.
• Démontrer que $(\mathbb{R} ^\mathbb{R}, \circ)$ n'est pas commutatif pour les fonction f et g.

L'élément neutre: la fonction id (identité): à un nombre x on associe x. (ƒ : x ↦ x)
ƒ $\circ$ id = ƒ

On peut voir la fonction identité comme un miroir: l'image de x renvoie x.

Nous avons composé avec des fonctions mais on peut aussi le faire en géométrie. (décaler, agrandir, etc…)

"Un théorème de la théorie des monoïdes"

Nous avons un monoïde (E, *) pour qui a * x = a * b.
Combien vaut x ? On peut dire que x = b, mais comment prouver que b est le seul résultat possible ?

On peut simplifier a, mais est ce que nous pouvons le faire de manière générale comme avec les conditions de notre monoïde?

Définition 1:

On dit qu'un élément a ∈ E est simplifiable si à chaque fois qu'on a:
a * y = a * z on peut en déduire que y = z.

C'est "moi" qui le dit, juste pour avoir raison.

Définition 2:

On dit qu'un élement a ∈ E est symétrisable si il existe un autre élément $\overline{a}$ ∈ E tel que a * $\overline{a}$ = $\overline{a}$ * a = e. $\overline{a}$ est le symétrie de a. Lorsque a et son symétrique "fusionnent", entre en collision, ils s'annulent, et laissent apparaitre e. Symétrique pourrait etre égale à l'opposé.

Le théorème qui en résulte:

Si a est symétrisable alors a est simplifiable. (Puisque l'annulation de deux éléments donne e, qui ne modifie pas l'équilibre d'une équation).

Tout ça doit être prouvé, démontré. Alors voici la démonstration:

a * x = a * b
$\overline{a}$ * a * x = $\overline{a}$ * a * b
Comme nous manipulons ces éléments dans un monoïde, l'associativité est implicite. Si on veut quand même ignorer l'associativité:
$\overline{a}$ * ( a * x) = $\overline{a}$ * (a * b)
($\overline{a}$ * a) * x = ($\overline{a}$ * a) * b
D'après la définition 2, a et $\overline{a}$ s'annihilent et donnent e.
e * x = e * b
D'après la loi de l'élément neutre:
x = b

Exercices:

• Démontrer qu'il existe un ou des nombres non-symétrisables.
• Démontrer qu'il existe des fonctions non-symétrisables.
• Démontrer que ∀a, b ∈ $\mathbb{N}$, $\mathbb{N}$ est un monoïde commutatif totalement ordonné par rapport au lois d'addition et de multiplication.

ou

• Montrer que $\mathbb{N}$ est un monoïde commutatif totalement ordonné par rapport aux lois d'addition et de multiplication.

Les groupes (G, *) | (G, +)

Un groupe est un cas particulier de monoïde, avec des propriétés en plus.

1. La loi * est interne.
2. La loi étoile est associative (on peut peut composer plusieurs éléments à la suite sans paranthèses).
3. Présence d'un élément neutre e.
4. Existence d'une opération contraire à l'opération *: Tout élément du groupe possède un symétrique.

∀x ∈ G, ∃$\overline{x}$ ∈ G, x * $\overline{x}$ = $\overline{x}$ * x= e

• Donner un exemple de groupe avec ces 4 règles.
→ $(\mathbb{Z}, +), \forall p\in \mathbb{Z}, -p \in \mathbb{Z}, p + (-p) = (-p) + p = e $

$(\mathbb{Z}, +)$ est un groupe, de plus, il est abélien (comprendre commutatif).
$\forall (n, p) \in \mathbb{Z}^2, n + p = p + n $

Mais prenons notre temps, reprenons un peu les choses: E est un ensemble non vide (cet ensemble peut être un ensemble de n'importe quoi, un ensemble de droites dans un plan, des matrices, des réels, des bouteilles de vin…).
* est une loi de composition interne.
* est une application de $E \times E$ dans $E$ (je prends deux éléments, je les combinen ensemble et ça donne un autre élément).

Sous-groupe

H est un sous-groupe de (G, *) à condition que:
• H ≠ Ø
• $\forall(x, y) \in H^2, x * y \in H$ (H est stable pour *)
• Le symétrique de x, noté $x^{-1}$ est dans H. $x^{-1} * x = x * x^{-1}$

On peut condenser ces conditions de la façon suivante:

H ≠ Ø et $\forall(x, y) \in H^{2}, x * y^{-1} \in H$

Ainsi on s'assure que H est stable pour l'opération de composition * tout en s'assurant qu'il existe un symétrique.

Petit point qui précise nos intuitions quant au sens de "stable":

Qui est dans une assiette, qui est assise, ferme.

Quelque chose d'instable est donc quelque chose qui déborde. Mathématiquement, ce quelque chose est un nombre qui dépasse de l'ensemble donné. Un bourrelet de fesse qui dépasse d'un slip de plage n'est pas stable.

Les anneaux, (A, +, $\times$)

On va ajouter à notre groupe, une autre loi de composition. Il faut que ce groupe soit abélien (commutatif).

• (A, +) est doit être abélien
• $\times$ est une loi de composition interne.
• Elle doit être associative et distributive sur +.

La multiplication est distributive sur l'addition.
La réunion est distributive sur l'intersection.

Exercices.

 

Les corps, (K, +, $\times$)

d

Pour résumer:

Magma: LCI --> Monoide: Associatif, unifère, LCI --> Groupe: associatif, unifère, symétrique, LCI --> Anneau: commutativité (groupe abélien), associatif, unifère, symétrique, LCI --> Corps:

Classes de relations

Soit R une relation en X dans Y.

On dit que R est une relation surjective si:
$\forall$y $\in$ Y, $\exists$ x $\in$ X, x R y

Poursuivre:

•https://fr.wikibooks.org/wiki/Alg%C3%A8bre/Fonctions_et_applications
•http://www-lmpa.univ-littoral.fr/~smoch/documents/L1-Maths/algebre1-chap2.pdf
•https://www.youtube.com/watch?v=MXy9YTxtIMM

[EN REDACTION]