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Puissances et racines n-ièmes

Vieil ouvrier, tu es si puissance

Oui oui oui oui … oui

(Ici on dit que a est un réel). $a^n$ veut dire qu'on multiplie a n fois par lui-même.

$a^4 = a * a * a * a$.

Quand $n = 2$, on dit qu'il élève au carré. Quand $n = 3$, il l'élève au cube… Également, nous savons que:

$ a^m.a^n = a^{m+n} $ et $a^m / a^n = a^{m-n}$

De plus ça permet de vérifier que $\forall a$, $a^{-2} * a^{2} = a^{-2+2} = a^0 = 1$ et plus généralement: $a^{-n} * a^{n} = a^{-n+n} = a^0 = 1$

La réciproque de $a^2$ est la racine carrée. (√a)$^2$ = a. Pour chaque n, il existe une opération réciproque: ( $^3$√a)$^3$ = a. Ici on parle de racine cubique. Évidemment, rien ne nous empêche d'avoir un n >= 3…

($^{61}$√a)$^{61}$ = a;

Avec une approche moins spécifique: ($^{n}$√a)$^{n}$ = a;

On a parlé des cas ou $n \in \mathbb{N}$, mais on peut aussi allez faire un petit tour dans $\mathbb{Z}$ et $\mathbb{Q}$.

$a^{-2} = 1/a^{2}$ et plus généralement $a^{-n} = 1/a^{n}$ car:
$a^{-n} . a^{n} = a^0 = 1$;
$\Leftrightarrow a^{-n} . a^{n} = 1$ $\Rightarrow a^{-n} = 1/a^n$;

Il est ici entendu que puissance de $-2$ est égale à puissance de 1/2 ou plus généralement: $a^{-n} =1/a^n$.

En rappelant qu'un produit d'un nombre par son inverse égale 1 ($a * \frac{1}{a} = 1$), démontrez pourquoi $a^{-n} =1/a^n$.

Une autre relation qu'il est bon de savoir sentir est celle-ci, à propos des racines n-ièmes:

$^{n}$√$a$ = $a^{1/n}$

Exemple: $^{3}$√8 = 2 (car 2 * 2 * 2 = 2 * 3 = 8……) = 8$^{1/3}$ = 8$^{-3}$ Avec n dans $\mathbb{N}$ (mais peut évidemment se généraliser pour $\mathbb{Z}$ ou $\mathbb{Q}$), avec a dans $\mathbb{R}$ :

$^{n}$√a = x (car a * a * … * a = a * n = x) = a$^{1/n}$ = a$^{-n}$

Utile pour se débarrasser de racines n-ièmes, qui peuvent être difficiles à manier.

Pourquoi $^{n}$√a = a$^{1/n}$ ?

On sait que:
1) $a^{m}.a^{n} = a^{m+n}$
2) $(^n\sqrt{a})^n = a$
3) $a^0 = 1$
4) $(a^{1/n})^n = a$ Arrêtons nous sur le point 4). On va quand aussi le démontrer!

$(a^{m})^n = a ?$ Vrai si: $(a^{m})^n = a \Leftrightarrow a^m . a^m . … a^m = a \Leftrightarrow a^{m*n} = a$

La condition pour que $a^{m*n} = a$, est que $m*n$ = 1; Or seul le produit d'un nombre avec son inverse est égale à 1 (sauf pour zéro hein…). Ainsi, nos manipulations étant commutatives ($x^{ab} = (x^a)^b = (x^b)^a$): m ou n = 1/n et donc $(a^{m})^n = a \vee (a^{n})^m = a$ est vrai si l'un est l'inverse de l'autre.

Sachant ça, terminons la démonstration de $^{n}$√a = a$^{1/n}$.

$a = (a^{1/n})^n$ $\Rightarrow \sqrt[n]{a} = (a^{1/n}) \Leftrightarrow \sqrt[n]{a} = a^{1/n}$