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Fonctions

RR fait le tigre

Fonction, images, association

ƒ est une fonction et f(x) est un nombre qui est donné par la fonction. Une fonction est une règle de calcul permet de modéliser un ensemble de résultats en fonction de la variation des variables qui lui sont intrinsèques~~

à x on associe une règle de calcul.

ƒ : x --> x^2 "La fonction f associe à x son carré". C'est une application de R x R dans R. Nous sommes dans le monde du "continu". Le nombre avant 2, ce n'est pas 1, c'est 1 virgule une inifinité de 9.

Parmis les fonctions usuelles, il y a la fonction affine, la fonction carré, les polynomes,la fonction inverse, les fonctions trigonométriques. Et c'est pas tout et c'est pas tout.

Comme la fonction pourrait symboliser à lui seul le domaine de l'analyse, on comprend que ce n'est pas pour rien qu'on met au point des "formules" qui permettent d'analyser, justement, le taux de variations de ces fonctions, ses limites, etc. qui représentent, modélisent des choses du monde.

Taux de variation

Le taux de variation ou le taux d'accoissement, permet d'obtenir une valeur qui rend compte de la façon dont ce comporte une courbe représentative entre une variable x et son image, si elle est croissante, décroissante, stricement décroissante, constance, etc. Une fonction permettant par exemple de modéliser une vitesse (c-a-d la relation entre la distance parcourue en fonction du temps), on peut calculer sur une partie du voyage, le taux de variation de la vitesse.

Ainsi, ici spécifiquement, x représente le temps, y la distance, et la courbe représentative, le voyage, les variations de vitesse du voyageur. Dans ce cas très précis, f(x+1) ≥ f(x), car une distace parcourue est une distance parcourue, on ne peut pas intervenir sur le nombre de kilomètre parcourue dans une intervalle de temps donnée.

Cette variation, "rapport peut être obtenue en comparant pour y >= x

(y - x) / ( (f(y) - f(x) )

La soustraction permet de connaitre l'écart (de temps par exemple) entre deux valeurs, x arrivant en premier avant y.

Exercice: Démontrez pourquoi f(y) est soustrait par f(x) et pourquoi ce nombre divise y - x.

Dans le cas ou f(x) est une fonction affine, ce taux d'accroissement représente la proprotion entre f(x) et x.

Les fonctions usuelles trigonométriques sont périodiques, elles permettent de calculer des mouvements circulaires ou courbes. Indispensables en physique.

Limites

"Qu'est-ce qu'il advient d'une fonction lorsqu'on se rapproche d'une valeur interdite?"

Si la fonction carré ou une fonction affine (par exemple) peuvent être définies sur R, sur l'ensemble des réels, donc sur l'intervalle ]-∞ ; +∞[, ce n'est pas le cas pour toutes les fonctions. La fonction inverse f(x) = 1/x exclue 0 (car on ne peut pas diviser pas 0). Mais que se passe t-il lorsque l'on s'approche de 0, lorsque l'on tend vers 0 ? On fonce dans le bordel: l'infini.

lim f(x) = ∞
x → 0

Lorsque l'on s'approche de zéro, la courbe s'envole, elle est asymptote à l'axe des ordonnées. Elle ne "s'écrasera" jamais dessus. "Asymptote" vient du grec "ne s'affaisse pas".

Mais quand x tend vers l'infini que se passe t-il pour notre fonction? Bah le bordel continue.

lim f(x) =0
x → +∞ Car f(x) ne dépassera jamais 0.

Lorsque la limite est finie, on parle de "limite finie en l'infini", et ça s'exprime de façon générale ainsi:

lim f(x) = L
x → ±∞

Pour la fonction ƒ (1/(x-1) ) / 2 on sait que f(x) ne dépassera jamais 2. C'est la limite, on exclu [2;+∞[ c'est quand même pas rien.

Dérivées.