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Résolution d'équations, d'inéquations et de polynômes


Analyse et logique: Froid. Froid. Froid. Ah tu chauffes… Non, tiède… tu chauffes… chaud! Chaud! Tu brûles ! Ah! Bravo.

Équations remarquables et développement.

Pour calculer un ensemble de nombres quelconques, avant de se lancer comme un fou dans des calculs fastidieux, on va économiser notre énergie en supprimant, en compressant les termes inutiles.

10.34591 - 23.9 - 10.34591 + (35/5) + 23.9

Ici, c'est patent, on voit bien l'interet de prendre son temps de supprimer des termes inutiles, d'enlever les termes qui s'annulent. Si on essaye de résoudre linéaire cette équation, de gauche à droite, le calcul s'avère lourdot. Pour faciliter les calculs, connaitre les propriétés des opérations, des nombres, c'est pas du luxe. Savoir que la multiplication, par exemple, est commutative, distributive, permet de retourner, de modifier une équation afin de la rendre plus simple, plus compressée. La soustration altère l'addition, un nombre multiplié par son inverse égale 1, etc…

Il y a, dans la nature (*), des objets mathématiques que l'on retrouve régulièrement, et le mathématicien, pour faciliter les calculs de ces problèmes récurrents modélisera une solution générale afin de calculer, dans des situations plus spécifiques, des problèmes particuliers avec un modèle, un gabarit de solution.

Si ces expressions peuvent être répresentées graphiquement, pour un x pouvant prendre toutes les valeurs de R, on pourra dire que nous sommes dans le domaine des grandeurs: l'analyse. Mais il faut faire preuve de raisonnement ingénieux, faire preuve de logique pour connaitre les situations ou x appartient ou pas à une intervalle, ou quand x équivant à une autre valeur…

Binômes

Les binômes comme (x + y)^n sont des objets mathématiques courants. Si (a + b)^2 est bien connue (elle fait parties des fameuses identités remarquables que l'on manipule au collège), on a retenu que son produit est égale à a^2 . 2ab . b^2. Si on a oublié la solution, on peut poser rapidement le calcul et résoudre algébriquement cet objet. On peut aussi la démontrer géométriquement:

 

Ça se corse quand le binôme est de dégré > à 2, de façon générale, quand le degré n ou n $\in$ |N > 2.

Pour n = 3, ça peut encore se poser, mais ça commence très vite à devenir fastidieux, c'est pour cela que Newton s'est décarcassé pour trouver une solution générale pour résoudre tout binome de degré n quelconque. La voici:

 

Pour résoudre ça, sans avoir appris par cœur (et de surcroit scupulusement) une formule qu'on applique comme un premier de la classe, on peut se contenter de remarquer que pour un binome de degré n, il y a n+1 termes, et que le coefficient de chacun des termes différent de x^n et y^n correspond aux combinaisons de nombres du triangle de Pascal. Les bornes d'une ligne sont égales à 1, et ces 1 sont les coefficients muets de x^n et de y^n.

Exercice/Démonstration.

--> Trouver la ou les relations qui unissent le triangle de Pascal (et la suite de Fibonacci…) et la formule du binôme de Newton.

Trinômes

Contentons nous de résoudre des trinômes de degré 2. Nous pouvons déjà présager que la solution va contenir au moins 3 termes à la puissance 2.

(x + y + z)^2 = x^2 + y^2 + z^2 ………

Pour le reste, la nature distributive de la multiplication, nous savons qu'il s'agit de l'ensemble des combinaisons possibles entre x, y et z différents de a.a , 'a' pouvant être x, z ou z.

xy
xz

yx
yz

zx
zy

Nous retrouvons 2 fois chaque combinaison, évidemment parce que la multiplication est commutative, la combinaison xy est équivalente à yx. Voilà la solution qui permet de résoudre un trinome de degré 2.

x^2 + y^2 + z^2 + 2xy + 2xz + 2yz

Factorisation aurifeuillienne

Nous avons $(x^n - 1)$.

Comment peut on la factoriser? c'est à dire trouver le produit des facteurs d'une expression à la con? Comment du pain, peut-on en déduire ces différentes composantes, l'eau, la farine et le sel qui se combinent pour former une délicieuse baguette? Comme il n'est pas question de chimie, nous allons voir cela avec des nombres.

*exercices factorier id.remarquables

$(x^n - 1) = (x - 1)(x^{n-1} + x^{n-2}+…+x^2 + x + 1)$

Inéquations

Ça consiste à donner l'ensemble de nombres qui satisfont une expression. Pour 3x < 1, on cherche le ou les valeurs de x possibles qui permettent de dire que 3 fois 'x' est bien inférieur à 1. Ici, comme 3 est supérieur à 1 et que l'opération qui relie 3 et x est la multiplication, il s'agit de n'importe quel nombe dans x $\in$ ]-∞; 1[

Polynômes

Un celèbre polynome pourrait être celui de degré 2, qui permet de décrire la trajectoire d'un objet lancé dans les airs. Son delta, et ses racines si il en a, sont aussi bien connus.

Démonstration de la résolution d'un polynôme de degré 2

Exercice, trouver la forme canonique et trouver le développement qui permet de trouver les outils pour calculer un polynomes de degré 2.

Inéquations polynomiales dans $R$

d

Applications du polynôme, calcul d'aire (géométrie, analyse).

sd

Résoudre / Simplifier racines n-ième

s

Équations et inéquations logarithmiques et exponentielles

s