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Suites, récurrence, infini: le nez dans le monde du Discret et un pied dans la topologie

du N, du Gauss, de la tortue, du discret, de la topologie.

Suites numériques

Une suite (numérique) est une fonction numérique définie sur N.

"Le mot calcul vient du latin calculus (« caillou »). Il est dit que les bergers comptabilisaient leurs moutons avec des cailloux dans un pot à l’entrée et à la sortie de la bergerie. Ces objets pouvaient aussi être façonnés en argile sous la forme de demi-sphère, de sphères, de conoïdes et pouvaient figurer des animaux domestiques." Obrigado Wikipédia.

Une suite est un ensemble de termes (notés u…) de rang n. Une suite peut être notée un ∈ |N. En admettant la véracité de l'ensemble |N (rédiger en renvoyer vers Anneaux et Corps), on peut en déduire qu'une suite peut s'écrire un ≥ 0 ou même (un).

Une suite peut être croissante, décroissante (dans ces deux premiers cas, on parle de suite monotone… les pauvres), stricement croissante, strictement décroissante et constante.

Croissante: quelque chose comme n ≥ n0, un+1 ≥ un
Décroissante: quelque chose comme n ≥ n0, un+1 ≤ un
Strictement Croissante: quelque chose comme n > n0, un+1
Strictement Décroissante: quelque chose comme n > n0, un+1 < un.

Borne to be alive

Une suite peut être majorée d'un nombre M pour peu que ce réel M soit supérieur au terme de rang n. Elle peut aussi être minorée (si ce un certain m est plus petit que un ou bien bornée si la suite est prise en otage par deux "M".

Majorée si n ≥ un et M ≥ un.
Minorée si n ≥ un et m ≤ un
Bornée si pour (un) ∃m et ∃M.

Propriétés tortufiantes

Soit une suite (un) telle que n ≥ u0.
Si (un) est croissante, ∀n ≥ p ≥ u0, un ≥ up.
Si (un) est décroissante, ∀n ≥ p ≥ u0, un ≤ up.

Soit une suite (un) telle que un = ƒ(un).
ƒ est une fonction définie sur |N, [n0; ∞[.

Si ƒ est croissante sur |N, alors (un) est croissante.
Si ƒ est décroissante sur |N, alors (un) est décroissante.

La réciproque est fausse en revanche, si (un) est croissante, la fonction ƒ n'est pas forcément croissante.

Ce petit jeu de rang qui se battent en duel fait penser à l'affaire de la tortue qui n'est jamais dépassé par un coureur d'origine grecque, mais français hein, juste d'origine grecque. Dans le cas ou une suite est croissante, le rang n étant toujours supérieur à p, n sera toujours en avance sur p. Ce dernier aura toujours un rang de retard par rapport à n.

On fait de l'arithmétique, pas des réformes

"L'arithmétique est un mode de représentation mathématique de la réalité discrète". Verdier.

La suite notée u est une application de N dans R puisque la suite modélise de façon discrète (du latin discerner) une séquence de nombres qui ne sont pas forcément entiers.

u = (N → R
n ↦ un)

La suite (un) est dite arithmétique si ∃r ∈ |R, ∀n ≥ n0, un+1 = un + r.
r est appelé raison (de la suite arithmétique (un)). La somme de tous les termes est égale à (n(n+1)) / 2.

$\sum_{k=1}^{n} (k_{n}) = \frac{n(n+1)}{2}$

Exercice:

• Démontrer que $\sum_{k=1}^{n} (k_{n}) = \frac{n(n+1)}{2}$

Démonstration algébrique --> Page 16, Le Discret et le Continu, Nobert Verdier.
Démonstration géométrique --> Le petit Gauss, somme géométrique (triangles). )

On fait de la suite géométrique, pas des réformes

La suite (un) est dite géométrique si ∃q ∈ |R*, ∀n ≥ n0, un+1 = un * r.
Pour calculer le dernier terme d'une suite géométrique, il suffit de poser:

u0 = a ; u1 = u0 * q ; u2 = u1 * q…un = un-1 * q. On remarque qu'on multiplie avec q n fois.

un = u0 * q^n.

En terme d'images, il faut voir q comme un facteur d'agrandissement (ou de rapetissement, pour peu que q < 0). Si on "grossit" une valeur a de base n fois avec un facteur q constant, on peut obtenir la taille finale en aggrandissant successivement la nouvelle valeur obtenue jusqu'à n de façon récursive, mais nous pouvons directement calculer le facteur global d'agrandissement en multipliant n fois le facteur q et d'appliquer ce nouveau résultat à la base.

Essayons de calculer l'ensemble de la somme d'une suite géométrique. C'est a dire que chaque étape de grossissement est additionné à la suivante.

Sn = u0 + u1 + u2…+un ;
Sn = u0 + (u0 * q) + (u1 * q)… + (un * q)
Sn = u0 + (u0 * q) + (u0 * q^2)… + (u0 * q^n)

Pour simplifier davantage cette expression qui est fastidieuse à calculer nous pourrons jouer sur les propriétés distributives de la multiplication de sorte à obtenir

Sn = u0 + u0(q + q ^ 2 + … + q^n)

Le terme de base est simplifiable également, cela revient à multiplier u0 par un et ce terme peut donc se joindre à cette grande farandole entre parenthèse

Sn = u0(1+q+q^2+…+q^n)

Il nous reste à simplifier ce qui a d'daaaaaans la parenthèse

S = 1 + q + q^2…+q^n

En vue de la nature des opérations qui relient l'ensemble des termes entre eux, l'addition, on pourrait envisager une simplification par le biais de la soustraction par exemple. On va multiplier S par q, et soustraire S par qS. Ça va "décaler" les valeurs de S d'un pas vers la droite, 1 devient q, q devient q^2, q^n devient q^n+1. On va pouvoir simplifier, et de tout cela, il ne nous restera plus qu'un membre, 1 de S et q^n+1 de sQ

S - qS = 1 - q ^n + 1

Par distributivité, on pourra simplifier le terme de gauche, S(1-q) = 1 - q ^n + 1.
Pour obtenir S, il ne restera plus qu'a tout diviser par 1 - q. C'est malin.

Exercice:

Trouver la solution pour résoudre S si q = 1.

DSK diverge car il n'a pas de limites

 

 

[EN REDACTION]